[問題] 化學的 平衡을 利用한 pH의 計算

[問題] 0.010M 의 醋酸(CH₃COOH) 溶液의 K = 1.8×10^-5M 일 때 pH는 얼마인가?


(解) CH₃COOH + H₂O ⇔ CH₃CO₂^- + H⁺ + H₂O
         0.01-x                       x          x

K =	[H+][CH3CO2-]	,	1.8×10-5 =	x2
	[CH3CO2H]			10-2-x

       近似法을 쓰면 x²  =  1.8×10^-7,  x = 4.2×10^-4 = [H⁺],

                  pH = -log[H⁺]
                       = -log4.2×10^-4
                       =  4 - log4.2
                       =  4 - 0.62
                       =  3.38

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       ① 위 계산식 [CH₃CO₂H] = 10^-2-x 에서 x = 4.06359×10^-4는 1×10^-2에 비하여 아주 적은 값이므로 위 계산에서 무시할 수 있다.
       그래서 x²  =  1.8×10^-5 × 10^-2 ( -x는 무시하고) = 1.8×10^-7

       ② x²  =  1.8×10^-7  →  logx²  = log1.8×10^-7
                                  →  2logx  = log1.8 + log10^-7
                                  →  2logx  = log1.8 - 7 
                                  →  2logx  = 0.2553 - 7  (상용로그표 1.8 = 0.2553)
                                  →  logx  = (0.2553 - 7) ÷ 2 = -6.7447 ÷ 2 = -3.37235
                                  →  logx  = - 4 (지표, 소수점 4자리) + 0.62765 (가수,  4 - 3.37235)
           가수 ≒0.6277값은 상용로그표 수 4.24~4.25사이로 진수 4.24일때 0.6274, 비례부분
           3일 때 0.0003이므로 4.243일 때 0.6277
        그래서 4.243×10^-4 ≒ 4.2×10^-4

        ③ 위 계산식 값  pH = 4 - log4.243(상용로그표 4.243 = 0.6277)
                                     = 4 - 0.6277
                                     = 3.3723
                                    ≒ 3.37

        ④ 전자계산기가 없고, 책 부록에 있는 상용로그표만 있다면, ②, ③의 과정에서 소수 1 ~ 2자리까지만 계산한다.

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        ⑤ 공학용 계산기로 하면 x²  +  1.8×10^-5 x  -  1.8×10^-7 = 0
                  이차방정식의 근의 공식에서  x = 4.06359×10^-4
                  pH = -log√(4.06359×10^-4) = 3.391090117 ≒ 3.39
            로 쉽고, 정확하고, 간단하게 계산된다.  전자계산기가 없다면 사람 잡는다.

        ⑥ 참고 :  x =  ³√0.08234의 값  → 양변에 상용로그를 취하면  logx = log³√0.08234
             →  logx =⅓ log0.08234             →  logx =⅓ log(8.234×10^-2)
             →  logx =⅓ (log8.234+log10^-2)  →  logx =⅓( log8.234 - 2)
             →  logx =⅓ (-2+0.9156)  (상용 log8.234 = 0.9156) = - 0.361526666
             →  logx = - 1 (지표, 소수점 1자리) + 0.638473334(가수,  1 - 0.361466666)
           가수 0.638533333(≒0.6385)값은 상용로그표 수 4.35
           그러므로, x = 4.35 × 10^-1 =  0.435